Question

已知等比数列{a_n}中，a₁+a₃=10，a₄+a₆=

5

4

（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：

lgan+1+lgan+2+…+lga2n

n2

＞-

3

2

lg2．

Answer 1

分析：（1）先设公比为q，用a₄+a₆除以a₁+a₃正好等于q³进而求得q，进一步求得其首项，从而得到数列{a_n}的通项公式；
（2）利用（1）中数列{a_n}的通项公式，化简左边得

lgan+1+lgan+2+…+lga2n

n2

=

lgan+1an+2…a2n

n2

=

lg2 n(7-3n) 2

n2

，再利用放缩法可证．

解答：解：（1）依题意，设公比为q，由于a₁+a₃=10，a₄+a₆=

5

4

，
所以q³=

a4+a6

a1+a3

，∴q=

1

2

，∴a₁=8，
∴a_n=2^4-n；
（2）

lgan+1+lgan+2+…+lga2n

n2

=

lgan+1an+2…a2n

n2

=

lg2 n(7-3n) 2

n2

＞

n(7-3n) 2

n2

＞

7n

2

-

3

2

＞-

3

2

点评：本题主要考查求解数列{a_n}的通项公式，考查对数运算，同时借助于放缩法进行证明不等式，有一定的综合性．