Question

判断下列各命题正确与否：

(1)若a≠0，a·b=a·c，则b=c；

(2)若a·b=a·c，则b≠c当且仅当a=0时成立；

(3)(a·b)c=a(b·c)对任意向量a、b、c都成立；

(4)对任一向量a，有a²=|a|².

Answer 1

剖析：(1)(2)可由数量积的定义判断.(3)通过计算判断.(4)把a²转化成a·a=|a|²可判断.

解：(1)a·b=a·c，∴|a||b|cosα=|a||c|cosβ(其中α、β分别为a与b，a与c的夹角).

    ∵|a|≠0,

    ∴|b|cosα=|c|cosβ.

    ∵cosα与cosβ不一定相等，

    ∴|b|与|c|不一定相等.

    ∴b与c也不一定相等.

    ∴(1)不正确.

    (2)若a·b=a·c，则|a||b|cosα=|a||c|cosβ(α、β为a与b，a与c的夹角).

    ∴|a|(|b|cosα-|c|cosβ)=0.

    ∴|a|=0或|b|cosα=|c|cosβ.

    当b≠c时，|b|cosα与|c|cosβ可能相等.

    ∴(2)不正确.

    (3)(a·b)c=(|a||b|cosα)c,

    a(b·c)=a|b||c|cosθ(其中α、θ分别为a与b，b与c的夹角).

     (a·b)c是与c共线的向量,

    a(b·c)是与a共线的向量.

    ∴(3)不正确.(4)正确.

讲评：判断上述问题的关键是要掌握向量的数量积的含义，向量的数量积的运算律不同于实数乘法的运算律.