Question

已知函数f（x）＝log_ax（a＞0且a≠1），若数列2，f（a₁），f（a₂），…，f（a_n），2n+4（n∈N^*）成等差数列.

（1）求数列｛a_n｝的通项a_n；

（2）若0＜a＜1，求数列｛a_n｝的前n项和S_n；

（3）若a＝2，令b_n＝a_n·f（a_n），对任意n∈N^*，都有b_n＞f^-1（t），求实数t的取值范围.

Answer 1

解:（1）2n+4=2+（n+2-1）d，∴d=2.

∴f（a_n）=2+（n+1-1）·2=2n+2.

∴a_n=a²ⁿ⁺².                                                             

（2）S_n=.                                                    

（3）b_n=a_n·f（a_n）=（2n+2）a²ⁿ⁺²=（2n+2）·2²ⁿ⁺²=（n+1）·2²ⁿ⁺³，·4＞1，∴b_n+1＞b_n.∴｛b_n｝为递增数列.∴b_n中最小项为b₁=2·2⁵=2⁶，f^-1（t）=2t.

∴2⁶＞2^t.∴t＜6．