Question

【题目】已知函数．

（1）令，判断g(x)的单调性；

（2）当x＞1时，，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）讨论的范围，分别利用导数以及函数的单调性，结合单调性判断函数是否有最大值，当函数有最大值时，令其最大值小于零即可求得的范围.

（1）由，则，

所以（x＞0）．

①当a≤0时，，为的减函数；

②当a＞0时，

若，即时，，为的减函数；

若，即时，由有两根得

在上，为减函数；在上，为增函数；

在上，为减函数．

综上：当时，为的减函数；

当时，在上，为减函数；在上，为增函数；在上，为减函数．

（2）由（1）知，对a讨论如下，

①当a≤0时，，则为（1，＋∞）上的减函数，

则，故为（1，＋∞）的减函数，

由于，所以，即a≤0时满足题意．

②当a＞0时，由于，对其讨论如下：

(A)若，即a≤1，则由（1）知，为（1，＋∞）上的减函数，

则，所以为（1，＋∞）的减函数，

由于，所以，即0＜a≤1时满足题意．

(B)若，即a＞1，则由（1）知，

当时，为（1，＋∞）上的减函数，又，

所以存在，使得在时，，于是为的增函数，

因为，

所以，即1＜a≤时不满足题意．

当时，由于，所以对与1的大小关系讨论如下，

1)如果，即，那么由（1）知，为（1，＋∞）上的减函数，

又，

则存在，使得在时，，于是为的增函数，

又，则，即时不满足题意．

2)如果，即，那么由（1）知，为（1，）上的增函数，

则当时，，于是为的增函数，

又，则，即时不满足题意．

综上所述，a的取值范围为．