Question

14．已知直线l：y=2x+1，求：
（1）直线l关于点M（3，2）对称的直线的方程；
（2）点M（3，2）关于l对称的点的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据题意，点M不在直线l上，所求的直线l′与直线l平行，且点M到这两条直线的距离相等，设出直线l′的方程，利用距离公式求出它的方程；
（2）设出点M关于l对称的点N的坐标，利用对称轴的性质，列出方程组，求出对称点的坐标．

解答 解：（1）∵点M（3，2）不在直线l上，
∴所求的直线l′与直线l平行，且点M到这两条直线的距离相等；
设直线l′的方程为y=2x+b，
即2x-y+b=0，
∴$\frac{|2×3-2+b|}{\sqrt{{2}^{2}{+（-1）}^{2}}}$=$\frac{|2×3-2+1|}{\sqrt{{2}^{2}{+（-1）}^{2}}}$，
解得b=-9或b=1（不合题意，舍去），
∴所求的直线方程为2x-y-9=0；
（2）设点M（3，2）关于l对称的点为N（a，b），
则k_MN=$\frac{b-2}{a-3}$=-$\frac{1}{2}$，
即a+2b=7①；
又MN的中点坐标为（$\frac{a+3}{2}$，$\frac{b+2}{2}$），
且在直线l上，
∴$\frac{b+2}{2}$=2×$\frac{a+3}{2}$+1，
即2a-b=-2②；
由①、②组成方程组，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴所求的对称点为N（-1，4）．

点评 本题考查了直线方程的应用问题，也考查了点关于直线的对称以及直线关于点的对称问题，是基础题目．