题目内容
已知函数f（x）=sin（x+
）+sin（x﹣
）+cosx+a（a∈R，a为常数）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若函数f（x）在[﹣
，
]上的最大值与最小值之和为
，求实数a的值．
）+sin（x﹣）+cosx+a（a∈R，a为常数）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若函数f（x）在[﹣
，]上的最大值与最小值之和为，求实数a的值．解：（Ⅰ）∵f（x）=sin（x+
）+sin（x﹣
）+cosx+a
=sinxcos
+cosxsin
+sinxcos
﹣cosxsin
+cosx+a
=
sinx+cosx+a
=2（
sinx+
cosx）+a
=2sin（x+
）+a，
∴函数f（x）的最小正周期T=2π；
（Ⅱ）∵x∈[﹣
，
]，
∴﹣
≤x+
≤
，
∴当x+
=﹣
，即x=﹣
时，f（x）的最小值=f（﹣
）=﹣
+a，
当x+
=
，即x=
时，f（x）的最大值=f（
）=2+a，
由题意，有（﹣
+a）+（2+a）=
，
∴a=
﹣1．
）+sin（x﹣）+cosx+a=sinxcos
+cosxsin+sinxcos﹣cosxsin+cosx+a=
sinx+cosx+a=2（
sinx+cosx）+a=2sin（x+
）+a，∴函数f（x）的最小正周期T=2π；
（Ⅱ）∵x∈[﹣
，]，∴﹣
≤x+≤，∴当x+
=﹣，即x=﹣时，f（x）的最小值=f（﹣）=﹣+a，当x+
=，即x=时，f（x）的最大值=f（）=2+a，由题意，有（﹣
+a）+（2+a）=，∴a=
﹣1．
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