Question

已知数列{a_n}满足a₁=2，an+1=

2an

an+2

．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=a_na_n+1，S_n=b₁+b₂+…+b_n，若S_n-（n+9）a＜0对一切n∈N^*都成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）两边取倒数，有

1

an+1

-

1

an

=

1

2

，从而可求数列{a_n}的通项公式；
（2）由b_n=a_na_n+1得b_n=4(

1

n

-

1

n+1

)，从而可求S_n，问题可转化为

4n

n+1

＜(n+9)a 恒成立，通过分离参数，用最值法求得a的取值范围．

解答：解：（1）由a_n+1=

2an

an+2

 得 

1

an+1

=

an+2

2an

=

1

2

+

1

an

，设

1

an

=

1

a1

+(n-1) • 

1

2

，故 a_n=

2

n

（2）∵b_n=a_na_n+1=

2

n

 •

2

n+1

=4(

1

n

-

1

n+1

)
∴Sn=b1+b2+…+bn=4[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=4(1-

1

n+1

)=

4n

n+1

不等式S_n-（n+9）a＜0恒成立 ?

4n

n+1

＜(n+9)a 恒成立 ?a＞[

4n

(n+1)(n+9)

]max
而

4n

(n+1)(n+9)

=

4

n+ 9 n +10

≤

4

2 n× 9 n +10

=

1

4

∴a＞

1

4

点评：本题主要考查构造新数列求数列的通项，考查裂项求和及恒成立问题的处理，属于中档题