Question

【题目】已知一列非零向量满足：，，其中是正数

（1）求数列的通项公式；

（2）求证：当时，向量与的夹角为定值；

（3）当时，把中所有与共线的向量按原来的顺序排成一列，记为，令，为坐标原点，求点列的极限点的坐标.（注：若点坐标为，且，则称点为点列的极限点）

Answer 1

【答案】（1）；（2）定值；见解析　（3）

【解析】

（1）根据向量的模长公式得到,由已知可得,进而求得的通项公式；

（2）利用数量积求解夹角即可证明；

（3）由（2）可知,即每隔3个向量的两个向量共线,且方向相反,则,所以,整理可得,将的坐标代回分别求解,,进而求得极限即可

（1）由题,为正数,

所以,

因为,

则是首项为,公比为的等比数列,

所以

（2）证明：因为当时,,

所以,

,

则夹角为是定值

（3）由（2）可知,

所以每隔3个向量的两个向量共线,且方向相反,

所以与向量共线的向量为：,

记的单位向量为,则,

则,

所以当时,

设,

则,

,

则,,

所以点列的极限点的坐标为