题目内容

在△ABC中，a，b，c是内角A，B，C的对边，且a²+b²-c²-ab=0．
（1）求角C；
（2）设f（x）=sinx+ $数学公式$ cosx，求f（A）的最大值，并确定此时△ABC的形状．

解：（1）因为在△ABC中，a，b，c是内角A，B，C的对边，且a²+b²-c²-ab=0，
由余弦定理可知cosC= $\text{[math]}$ ，所以C= $\text{[math]}$ ．
（2）由（1）A∈（0， $\text{[math]}$ ）且f（x）=sinx+ $\text{[math]}$ cosx=2sin（x+ $\text{[math]}$ ），
∴f（A）=2sin（A+ $\text{[math]}$ ），
A∈（0， $\text{[math]}$ ），∴A+ $\text{[math]}$ ∈ $\text{[math]}$
∴当A+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 即A= $\text{[math]}$ 时，f（A）=2sin（A+ $\text{[math]}$ ），
取最大值2；此时A= $\text{[math]}$ ，B= $\text{[math]}$ ，C= $\text{[math]}$ ，
故三角形是有一个角为30°的直角三角形．
分析：（1）通过已知条件，利用余弦定理求出cosC的值，即可求角C；
（2）化简f（x）=sinx+ $\text{[math]}$ cosx为一个角的一个三角函数的形式，集合A的范围，直接求f（A）的最大值，求出三角形的三个内角即可确定此时△ABC的形状．
点评：本题考查余弦定理的应用，两角和的正弦函数的应用，三角形的判断，考查逻辑推理能力计算能力．