Question

6．设公比为正数的等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₃=8，S₂=48．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b_n=4log₂a_n（n∈N^*），试求数列{b_n}前n项和T_n的最大值．

Answer 1

分析 （I）根据等比数列的公式得出：$\left\{\begin{array}{l}{a_1}{q^2}=8\\{a_1}+{a_1}q=48\end{array}\right.⇒q=\frac{1}{2}$或$q=-\frac{1}{3}$（舍）
（II）运用对数得出b_n=24-4n，根据等差数列的求和公式化简得出T_n，利用二次函数性质求解即可．

解答 解：（Ⅰ）设{a_n}的公比为q（q＞0），则有$\left\{\begin{array}{l}{a_1}{q^2}=8\\{a_1}+{a_1}q=48\end{array}\right.⇒q=\frac{1}{2}$或$q=-\frac{1}{3}$（舍）
则a₁=$\frac{8}{{q}^{2}}$=32，a_n=$32•（\frac{1}{2}）^{n-1}$=2^6-n
（Ⅱ）b_n=4log₂a_n=4log₂2^6-n=24-4n，
b_n+1-b_n=-4=常数，
∴数列{b_n}为等差数列，首项为20，公差为-4，
${T_n}=\frac{（20+24-4n）n}{2}=-2{n^2}+22n=-2{（n-\frac{11}{2}）^2}+\frac{121}{2}$
所以当n=5或n=6时数列{b_n}前n项和T_n的最大值为60．

点评 本题综合考查了等差，等比数列的定义，性质，方程组的方法，二次函数的性质的运用，注意数列的特殊函数性．