Question

【题目】已知函数

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数与的图象有两个不同的交点

（i）求实数a的取值范围

（ii）求证：且为自然对数的底数).

Answer 1

【答案】(1) 当时,函数在上单调递增;

当时, 函数的单调递增区间为,单调递减区间为.

(2)(i) (ii)证明见解析.

【解析】

(1),对分类讨论：,利用导数的正负号研究函数的单调性;

(2)(i)由(1)可知，当时单调,不存在两个零点,当时,可求得有唯一极大值,令其大于零,可得到的范围,再判断极大值点左右两侧附近的函数值小于零即可;

(ii)构造函数,根据函数的单调性证明即可.

由题意知,所以.

当时, ,函数在上单调递增;

当时,令，解得；

令，解得；

所以函数在上单调递增,在上单调递减.

综上所述：当时,函数在上单调递增;

当时, 函数的单调递增区间为,单调递减区间为.

(2)(i) 函数与的图象有两个不同的交点等价于函数有两个不同的零点,其中.

由(1)知, 当时,函数在上单调递增;不可能有两个零点.

当时, 函数在上单调递增,在上单调递减,此时为函数的最大值.

当时,最多有一个零点,

所以,解得

此时,,且，.

令,

则,

所以在上单调递增,

所以即,

所以的取值范围是.

(ii)因为在上单调递增,在上单调递减,

所以,,

所以,即,所以.

构造函数

,

则,

所以在上单调递减,

又因为,

所以,

因为

所以,又

所以

由(1)知在上单调递减得：即

又因为,所以

即,

又因为，所以

所以.