Question

设椭圆C：，F是右焦点，l是过点F的一条直线（不与y轴平行），交椭圆于A、B两点，l′是AB的中垂线，交椭圆的长轴于一点D，则的值是    ．

Answer 1

【答案】分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（m，0），AB 的中点M（x，y），直线l的斜率为k，则l′的斜率为，由k=及中点坐标公式，利用点差可得k=-，由及可求m=由椭圆的第二定义可知，|AB|=|AF|+|BF|==代入可求
解答：解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（m，0），AB 的中点M（x，y），直线l的斜率为k，则l′的斜率为
则x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，k=
由题意可得，两式相减可得
整理可得，k=-
又∵
∴
∴m=，|DF|=|4-|
∵，右准线x=，过A，B分别向右准线作垂线，垂足分别为E，G
由椭圆的第二定义可知，|AB|=|AF|+|BF|=|=
=
===
故答案为
点评：本题主要考查了直线与椭圆的相交关系的应用，椭圆的第二定义的应用点差法的应用是解答本题的关键