Question

已知函数y=f（x）=

ax2+1

bx+c

（a，b，c∈R，a＞0，b＞0）是奇函数，当x＞0时，f（x）有最小值2，其中b∈N，且f（1）＜

5

2

（1）试求函数f（x）的解析式；
（2）问函数f（x）图象上是否存在关于点（1，0）对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）先根据函数为奇函数即f（-x）=-f（x）求得c=0，进而把函数解析式整理成

a

b

x+

1

bx

的形式，根据均值不等式求得函数f（x）的最小值的表达式为a和b的关系，进而根据f（1）＜

5

2

求得b的范围，最后求得b的值，则a的值可得．进而求得函数f（x）的解析式．
（2）假设存在一点（x₀，y₀）在y=f（x）的图象上，并且关于（1，0）的对称点（2-x₀，-y₀）也在y=f（x）图象上，则可得x₀与y₀两个关系式进而求出得到．

解答：解：（1）∵f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），即

ax2+1

bx+c

=-

ax2+1

-bx+c

⇒bx+c=bx-c，
∴c=0．
∵a＞0，b＞0，
∴当x＞0时，有f（x）=

ax2+1

bx

=

a

b

x+

1

bx

≥2

a b2

，
当且仅当x=

1 a

时等号成立，于是2

a b2

=2，∴a=b²，
由f（1）＜

5

2

得

a+1

b

＜

5

2

即

b2+1

b

＜

5

2

，
∴2b²-5b+2＜0，解得

1

2

＜b＜2，又b∈N，
∴b=1，∴a=1，∴f（x）=x+

1

x

．
（2）假设存在一点（x₀，y₀）在y=f（x）的图象上，并且关于（1，0）的对称点（2-x₀，-y₀）也在y=f（x）图象上，
则

x02+1 x0 =y0 (2-x0)2+1 2-x0 =-y0

，
所以消去y₀得x₀²-2x₀-1=0，解得x₀=1±

2

．
∴y=f（x）图象上存在两点（1+

2

，2

2

），（1-

2

，-2

2

）关于（1，0）对称．

点评：本题主要考查了函数的奇偶性的应用，均值不等式的应用及函数的对称性．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．