Question

【题目】已知函数 的图象过点。

（1）求的值并求函数的值域；

（2）若关于的方程有实根，求实数的取值范围；

（3）若函数， ，则是否存在实数，使得函数的最大值为0？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

【答案】（1），值域为（2）（3）

【解析】试题分析：（1）由可得

(2) 有实根,即方程有实根，即函数与函数有交点，即转化为函数的值域问题.

（3）函数， ，令，则

结合二次函数的图象和性质，分类讨论可得a的值.

试题解析：（1）因为函数 的图象过点

所以，即，所以

所以，因为，所以

所以

所以函数的值域为

（2）因为关于的方程有实根，即方程有实根

即函数与函数有交点，

令，则函数的图象与直线有交点

又…5分

任取，则，所以，所以

所以

所以在R上是减函数

（或由复合函数判断为单调递减）

因为，所以

所以实数的取值范围是

（3）由题意知，

令，则

当时， ，所以

当时， ，所以（舍去）

综上，存在使得函数的最大值为0