Question

已知A，B，C是三角形△ABC三内角，向量

m

=(-1，

3

)，

n

=(cosA，sinA)，且

m

•

n

=1．
（1）求角A；（2）若tanB=

1

2

，求

1+sin2B

cos2B-sin2B

的值．

Answer 1

分析：（1）首先由平面向量数量积坐标公式得A的三角等式，然后利用正弦的差角公式进行化简，最后由特殊角三角函数值解之；
（2）利用正弦的倍角公式、同角正余弦关系式及弦切互化公式把代数式转化为tanB的形式即可．

解答：解：（1）∵

m

•

n

=1∴(-1，

3

)•(cosA，sinA)=1，
即

3

sinA-cosA=1，2(sinA•

3

2

-cosA•

1

2

)=1，
∴sin(A-

π

6

)=

1

2

，
∵0＜A＜π∴-

π

6

＜A-

π

6

＜

5π

6

∴A-

π

6

=

π

6

∴A=

π

3

．
（2）由题知

1+sin2B

cos2B-sin2B

=

(sinB+cosB)2

cos2B-sin2B

=

sinB+cosB

cosB-sinB

=

1+tanB

1-tanB

=3．

点评：本题考查平面向量数量积坐标运算、三角函数有关公式及特殊角三角函数值，同时考查转化思想．