Question

已知函数f（x）=

1

3

ax³+bx²+x+3，其中a＞0，
（Ⅰ）当a、b满足什么关系时，f（x）存在极值；
（Ⅱ）f（x）在区间（0，1]上单调递增，试用a表示b的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要取得极值，导函数为0的方程恰有两个不同的解，利用判别式，即可求得结论；
（Ⅱ）f（x）在区间（0，1]上单调递增，需使f′（x）=ax²+2bx+1≥0在（0，1]上恒成立，分离参数，可得b≥-

ax

2

-

1

2x

在（0，1]上恒成立，所以b≥(-

ax

2

-

1

2x

)max，分类讨论，确定函数g(x)=-

ax

2

-

1

2x

的最值即可用a表示b的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由已知得f′（x）=ax²+2bx+1，令f′（x）=0，得ax²+2bx+1=0，
要取得极值，方程ax²+2bx+1=0恰有两个不同的解，
所以△=4b²-4a＞0，即b²＞a，
综上，当a，b满足b²＞a时，f（x）取得极值．
（Ⅱ）f（x）在区间（0，1]上单调递增，需使f′（x）=ax²+2bx+1≥0在（0，1]上恒成立．
即b≥-

ax

2

-

1

2x

在（0，1]上恒成立，所以b≥(-

ax

2

-

1

2x

)max
当a＞1时，0＜

1

a

＜1，当x∈(0，

1

a

)时，g(x)=-

ax

2

-

1

2x

是单调增函数；
当x∈(

1

a

，1]时，g(x)=-

ax

2

-

1

2x

是单调减函数，
所以当x=

1

a

时，g(x)=-

ax

2

-

1

2x

取得最大，最大值为g(

1

a

)=-

a

，所以b≥-

a

当0＜a≤1时，

1

a

≥1，所以g(x)=-

ax

2

-

1

2x

在区间（0，1]上单调递增，当x=1时g（x）最大，最大值为g（1）=-

a+1

2

，所以b≥-

a+1

2

综上，当a＞1时，b≥-

a

； 当0＜a≤1时，b≥-

a+1

2

．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查函数的单调性，考查分离参数法，解题的关键是求导数，利用分离参数法，求参数的范围．