题目内容

数列{a_n}中，已知 $数学公式$ ， $数学公式$ ，且 $数学公式$ ， $数学公式$ ，…，a_n+1- $数学公式$ 是公比为 $数学公式$ 的等比数列．
（1）求证数列 $数学公式$ ， $数学公式$ ，…， $数学公式$ 是公比为 $数学公式$ 的等比数列．
（2）求数列{a_n}的通项公式．
（3）问是否存在除 $数学公式$ ， $数学公式$ 以外的实数k，使得数列{a_n+1-ka_n}成等比数列．

解：（1）由题意可得：因为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ ，
又因为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…，a_n+1- $\text{[math]}$ 是公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列，
所以 $\text{[math]}$
所以 $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ，
所以数列 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…， $\text{[math]}$ 是公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列．
（2）由（1）可得： $\text{[math]}$ ，又因为 $\text{[math]}$ ，
所以两式相减得 $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ ．
（3）假设存在这样的k，k≠ $\text{[math]}$
则有 $\text{[math]}$
所以 $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ 解得： $\text{[math]}$ ，
所以不存在除 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 以外的实数k使得数列{a_n+1-ka_n}成等比数列．
分析：（1）由题意可得：因为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，根据题意可得： $\text{[math]}$ ，进而达到 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即可证明结论．
（2）由（1）可得： $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ．
（3）假设存在这样的k，k≠ $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ ，令a_n+2-ka_n+1=qa_n+1-qka_n，即 $\text{[math]}$ 解得： $\text{[math]}$ ，进而达到答案．
点评：本题主要考查等比数列的性质，以及等比数列的通项公式以及等比数列的判定，此题属于难题．