题目内容

已知数列{a_n}的前n项和S_n是二项式（1+2x）²ⁿ（n∈N^*）展开式中含x奇次幂的系数和．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设f（n）= $数学公式$ ，求c_n=f（0）+f（ $数学公式$ ）+f（ $数学公式$ ）+…+f（ $数学公式$ ），求 $数学公式$ + $数学公式$ +…+ $数学公式$ 的值．

（1）解：记（1+2x）²ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_2n-1x^2n-1+a_2nx²ⁿ令x=1得：3²ⁿ=a₀+a₁+a₂+…+a_2n-1+a_2n令x=-1得：1=a₀-a₁+a₂-…-a_2n-1+a_2n两式相减得：3²ⁿ-1=2（a₁+a₃+…+a_2n-1）
∴S_n= $\text{[math]}$ （9ⁿ-1）（4分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=4×9^n-1当n=1时，a₁=S₁=4，适合上式
∴a_n=4×9^n-1（n∈N）（6分）
（2）解：f（n）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
注意到f（n）+f（1-n）= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （8分）
c_n=f（0）+f（ $\text{[math]}$ ）+f（ $\text{[math]}$ ）+…+f（ $\text{[math]}$ ），
可改写为c_n=f（ $\text{[math]}$ ）+f（ $\text{[math]}$ ）+…+f（ $\text{[math]}$ ）+f（0）
∴2c_n=[f（0）+f（ $\text{[math]}$ ）]+[f（ $\text{[math]}$ ）+f（ $\text{[math]}$ ）]+…+[f（ $\text{[math]}$ ）+f（ $\text{[math]}$ ）]+[f（ $\text{[math]}$ ）+f（0）]
故c_n= $\text{[math]}$ ，即f（0）+f（ $\text{[math]}$ ）+f（ $\text{[math]}$ ）+…+f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ （8分）
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =36×（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）
$\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$
=36×[（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+…+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）（12分）
=36×（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）]=18- $\text{[math]}$ （14分）
分析：（1）记（1+2x）²ⁿ=a₀+a₁x+…+a_2nx²ⁿ，利用赋值可分别令x=1得：3²ⁿ=a₀+a₁+…+a_2n，令x=-1得：1=a₀-a₁+a₂-a₃+…-a_2n-1+a_2n两式相减得：3²ⁿ-1=2（a₁+a₃+…+a_2n-1），从而可求
（2）由（1）可得 $\text{[math]}$ ，注意到f（n）+f（1-n）= $\text{[math]}$ ，从而可考虑利用倒序相加求和，再利用裂项法可求 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ 的值
点评：本题以数列为载体，主要考查了利用赋值法求二项展开式的系数，及数列求和中的倒序相加、裂项求和等方法的应用．