题目内容

已知函数 $数学公式$ ，g（x）=lnx．
（Ⅰ）求函数F（x）=f（x）+g（x）的单调区间；
（Ⅱ）若关于x的方程 $数学公式$ 恰有两个不等的实根，求a的取值范围．

解：（Ⅰ）函数F（x）的定义域为（0，+∞） $\text{[math]}$ …（1分）
①当a≥0时，F'（x）＞0，F（x）的单调增区间为（0，+∞），无单调减区间 …（3分）
②当a＜0时，方程x²+x+a=0的两根为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
当 $\text{[math]}$ 时，F'（x）＜0
当 $\text{[math]}$ 时，F'（x）＞0
综上所述，a≥0时，F（x）的单调增区间为（0，+∞），无单调减区间a＜0时，F（x）的单调增区间为 $\text{[math]}$ ，单调减区间为 $\text{[math]}$ …（6分）
（Ⅱ） $\text{[math]}$ …（7分）
令G（x）=x²-lnx-a，则G（x）的定义域为（0，+∞），
$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
所以G（x）在 $\text{[math]}$ 上单调递减，在 $\text{[math]}$ 上单调递增 …（10分）
G（x）_min= $\text{[math]}$
所以a的取值范围是 $\text{[math]}$ …（12分）
分析：（I）求导，令导数大于零，对a分情况讨论，根据一元二次不等式的解的情况，即可求得结论；
（II）关于x的方程 $\text{[math]}$ 恰有两个不等的实根，等价于G（x）=x²-lnx-a有零点，利用导数工具，将问题转化为求函数的最值问题，即可求得结论．
点评：掌握导数与函数单调性的关系，会熟练运用导数解决函数的极值与最值问题．考查了计算能力和分析解决问题的能力，体现了分类讨论和转化的数学思想．