Question

18．双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），M、N为双曲线上关于原点对称的两点，P为双曲线上的点，且直线PM、PN斜率分别为k₁、k₂，若k₁•k₂=$\frac{5}{4}$，则双曲线离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． 2
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 设出点M，点N，点P的坐标，求出斜率，将点M，N的坐标代入方程，两式相减，再结合k_PM•k_PN=$\frac{5}{4}$，即可求得结论．

解答 解：由题意，设M（x₁，y₁），P（x₂，y₂），则N（-x₁，-y₁）
∴k_PM•k_PN=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}$=$\frac{{{y}_{2}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$，
∵$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{{b}^{2}}$=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
∴两式相减可得$\frac{{{y}_{2}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$
∵k_PM•k_PN=$\frac{5}{4}$，
∴$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{5}{4}$，
∴b=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a，
∴c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\frac{3}{2}$a，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的方程，考查双曲线的几何性质，考查直线的斜率公式和点差法的运用，属于中档题．