Question

（2012•蓝山县模拟）在四边形ABCD中，AD=8，CD=6，AB=13，∠ADC=90°，且

AB

 • 

AC

=50．
（1）求三角形ABC的面积和边BC的长度；
（2）求sin∠BAD的值．

Answer 1

分析：（1）由题意可求得cos∠BAC，继而可得sin∠BAC，从而可得S_△ABC，再由余弦定理求得BC即可；
（2）在Rt△CAD中，求得sin∠CAD，cos∠CAD，利用两角和的正弦即可求得答案．

解答：解：（1）由已知|

AB

|=13，|

AC

|=

AD2+CD2

=10，

AB

 • 

AC

=50⇒

|AB|

•

|AC|

•cos∠BAC=50，
∴cos∠BAC=

5

13

，（3分）
∴sin∠BAC=

12

13

，
则S_△ABC=

1

2

AB•ACsin∠BAC
=

1

2

×13×10×

12

13

=60（5分）
由余弦定理得BC=

AB2+AC2-2AB • ACcos∠BAC

=13（7分）
（2）在Rt△CAD中，sin∠CAD=

CD

AC

=

6

10

=

3

5

，cos∠CAD=

AD

AC

=

4

5

，（9分）
∴sin∠BAD=sin（∠BAC+∠CAD）
=sin∠BAC•cos∠CAD+cos∠BAC•sin∠CAD
=

63

65

．（12分）．

点评：本题通过考查平面向量数量积的运算，考查余弦定理及其应用，考查分析与运算的能力，属于中档题．