Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1,na_n+1=(n+2)S_n (n∈N^*).

(1)求证：数列为等比数列；

（2）求数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n；

（3）若数列{b_n}满足：b₁=,=(n∈N^*),求数列{b_n}的通项公式.

Answer 1

（1）证明见解析（2）a_n=(n+1)2^n-2(n∈N^*)（3） b_n=(2ⁿ-1) (n∈N^*)

解析:

（1）证明  将a_n+1=S_n+1-S_n代入已知na_n+1=(n+2)S_n;

整理得=2×(n∈N^*).

又由已知=1,

所以数列是首项为1，公比为2的等比数列.

（2）解  由（1）的结论可得=2^n-1,∴S_n=n·2^n-1，

当n≥2时，

a_n=S_n-S_n-1=n·2^n-1-（n-1）·2^n-2=2^n-2（n+1）.

由已知，a₁=1,又当n=1时，2^n-2(n+1)=1,

∴a_n=(n+1)2^n-2(n∈N^*).

(3)解  由=(n∈N^*),得=+2^n-1,

由此式可得=+2^n-2,

=+2^n-3,

…

=+2^3-2,

=+2^2-2.

把以上各等式相加得，

=2^n-2+2^n-3+…+2^3-2+2^2-2+b₁.

∵b₁=,∴=+,

∴b_n=(2ⁿ-1) (n∈N^*).