Question

已知复数z=i，ω=i.复数z，z²ω³在复数平面上所对应的点分别是P、Q.证明：△OPQ是等腰直角三角形（其中O为原点）.

Answer 1

答案：
解析：

证明：证法一： ω= 于是zω=cos+isin， =cos（－）+isin（－）. z2ω3=［cos（－）+isin（－）］×（cosπ+isinπ）=cosπ+isinπ 因为OP与OQ的夹角为π－（－）=. 所以OP⊥OQ 又因为|OP|=||=1，|OQ|=|z2ω3|=|z|2|ω|3=1 ∴|OP|=|OQ|. 由此知△OPQ为等腰直角三角形. 证法二：∵z=cos（－）+isin（－）. ∴z3=－i 又ω=. ∴ω4=－1 于是 由此得OP⊥OQ，|OP|=|OQ| 故△OPQ为等腰直角三角形.