Question

一个圆的圆心为椭圆的右焦点，且该圆过椭圆的中心交椭圆于P，直线PF₁（F₁为椭圆的左焦点）是该圆的切线，则椭圆的离心率为（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  2

  2

• C、

  3

  2

• D、

  3

  -1

Answer 1

分析：根据题意思可得：点P是切点，所以PF₂=c并且PF₁⊥PF₂．所以∠PF₁F₂=30°，所以|PF2|=

3

c．根据椭圆的定义可得|PF₁|+|PF₂|=2a，
所以|PF₂|=2a-c．进而得到答案．

解答：解：设F₂为椭圆的右焦点
由题意可得：圆与椭圆交于P，并且直线PF₁（F₁为椭圆的左焦点）是该圆的切线，
所以点P是切点，所以PF₂=c并且PF₁⊥PF₂．
又因为F₁F₂=2c，所以∠PF₁F₂=30°，所以|PF2|=

3

c．
根据椭圆的定义可得|PF₁|+|PF₂|=2a，
所以|PF₂|=2a-c．
所以2a-c=

3

c，所以e=

3

-1．
故选D．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握直线与圆的相切问题，以即椭圆的定义．