Question

知二次函数f（x）满足f（-2+k）=f（-2-k）（k∈R），且该函数的图象与y轴交于点（0，1），在x轴上截得的线段长为2

2

，求该二次函数解析式为

f（x）=

1

2

x2+2x+1

．

Answer 1

分析：先设出二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的表达式，再利用其对称性、与y轴交于点（0，1）及在x轴上截得的线段长为2

2

，可列出关于a、b、c一个方程组，解出即可．

解答：解：设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）．
∵二次函数f（x）满足f（-2+k）=f（-2-k）（k∈R），可知该二次函数关于直线x=-2对称，∴-

b

2a

=-2，即b=4a．
∵该函数的图象与y轴交于点（0，1），∴f（0）=1，即c=1．
设二次函数f（x）=ax²+bx+c与x轴相较于点（x₁，0），（x₂，0）．
令f（x）=ax²+bx+c=0，则x1+x2=-

b

a

，x1x2=

c

a

．
∵此二次函数的图象在x轴上截得的线段长为2

2

，
∴|x2-x1|=2

2

，即

(x1+x2)2-4x1x2

=2

2

．
∴

b2

a2

-4×

c

a

=8，即b²-4ac=8a²．
联立

b=4a c=1 b2-4ac=8a2

．解得

a= 1 2 b=2 c=1

．
∴f（x）=

1

2

x2+2x+1．

点评：熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．