Question

．．（本小题满分14分）定义在上的函数，如果满足；对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界.已知函数.

（Ⅰ）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由；

（Ⅱ）若是上的有界函数，且的上界为3，求实数的取值范围；

（Ⅲ）若，求函数在上的上界的取值范围.

 

 

Answer 1

【答案】

 

解：（Ⅰ）当时，.

∵在上递增，所以，

即在上的值域为.     …………………………… 2分

故不存在常数，使成立.

所以函数在上不是有界函数.………………………… 4分

（Ⅱ）∵函数在上是以3为上界的有界函数，

在上恒成立. ,

在上恒成立.

…………………………………… 6分

设，，.

由,得.设，则

，，

所以在 上递增，在上递减.

在上的最大值为，在上的最小值为.

所以实数的取值范围为. ……………………………………… 9分

（Ⅲ）解法一:，.

∵，,.

∴，

∵

∴. …………………………………………… 11分

①当即时，　，此时；

②当即时，，此时.

综上所述，当时，的取值范围是；

当时，的取值范围是………… 14分

解法二：.令，因为，所以.

.

因为在上是减函数，所以.………… 11分

又因为函数在上的上界是，所以.

①当即时，；

②当即时，.…………… 14分

 

【解析】略