Question

10．已知平面向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=5，|$\overrightarrow{b}$|=4，且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为120°．
（1）若$\overrightarrow{a}$⊥（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），求实数k的值；
（2）求$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$的模．

Answer 1

分析 （1）由已知求出向量垂直得到数量积为0，由此得到关于k 的等式解之；
（2）先求模的平方，展开后计算，然后开方求模．

解答 解：（1）由$\overrightarrow{a}$⊥（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），得$\overrightarrow{a}$•（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=0，…（1分）
即k$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0得25k+5×4cos120°=0
解得：k=$\frac{2}{5}$…（5分）
（2）|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$|²=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{a}$+4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+4$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{b}$=25+4×5×4cos120°+4×4×4=49
故|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$|=7…（10分）

点评 本题考查了平面向量的数量积公式的运用、向量垂直的性质以及求向量的模的方法；此类题目基础课程，注意掌握．