题目内容

在极坐标系中，已知点A（2，π），B（2， $数学公式$ ），C是曲线p=2sinθ上任意一点，则△ABC的面积的最小值等于________．

$\text{[math]}$
分析：把AB的极坐标化为直角坐标即 A（-2，0），B（-1，- $\text{[math]}$ ），故AB= $\text{[math]}$ =2，且AB的方程 $\text{[math]}$ x+y+2 $\text{[math]}$ =0．曲线p=2sinθ 化为直角坐标方程可得它表示以C（0，1）为圆心，
半径等于1的圆，求出圆心到直线的距离为d，点C到直线的最小距离等于d-1，再由△ABC的面积的最小值等于 $\text{[math]}$ •AB•（d-1）求得结果．
解答：点A（2，π），B（2， $\text{[math]}$ ）的直角坐标为 A（-2，0），B（-1，- $\text{[math]}$ ），故AB= $\text{[math]}$ =2，且AB的方程为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ x+y+2 $\text{[math]}$ =0．
曲线p=2sinθ 化为直角坐标方程为 x²+（y-1）²=1，表示以C（0，1）为圆心，半径等于1的圆．
圆心到直线的距离为d= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，故点C到直线的最小距离等于d-1=（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ -1）= $\text{[math]}$ ，
故△ABC的面积的最小值等于 $\text{[math]}$ •AB•（d-1）= $\text{[math]}$ ，
故答案为 $\text{[math]}$ ．
点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系，属于基础题．