Question

设定义在R上的函数f（x）=a₀x⁴+a₁x³+a₂x²+a₃x+a₄，a₀，a₁，a₂，a₃，a₄∈R，当x=-1时，f（x）取得极大值

2

3

，且函数y=f（x+1）的图象关于点（-1，0）对称．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）在函数y=f（x）的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在[-

2

，

2

]上？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（Ⅲ）设xn=

2n-1

2n

，  ym=

2 (1-3m)

3m

(m，n∈N*)，求证：|f(xn)-f(ym)|＜

4

3

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）已知函数f（x），且函数y=f（x+1）的图象关于点（-1，0）对称．所以y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，即y=f（x）是奇函数，所以f（x）=a₁x³+a₃x，由题意，得

f′(-1)=3a1+a3=0 f(-1)=-a1-a3= 2 3

?

a1= 1 3 a3=-1.

进而可得答案；
（Ⅱ）在函数y=f（x）的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在[-

2

，

2

]上？属于探索性问题．通常假设存在，看是否有解即可．假设存在两切点为(x1，f(x1))，(x2，f(x2))  (x1，x2∈[-

2

，

2

])，
则f'（x₁）•f'（x₂）=（x₁²-1）（x₂²-1）=-1．因为（x₁²-1）、（x₂²-1）∈[-1，1]
所以

x 2 1 -1=-1 x 2 2 -1=1

或

x 2 1 -1=1 x 2 2 -1=-1.

即

x1=0 x2=± 2

或

x1=± 2 x2=0

从而可得所求两点的坐标分别为(0，0)，(

2

，-

2

3

)或(0，0)，(-

2

，

2

3

)．
（Ⅲ）设xn=

2n-1

2n

，  ym=

2 (1-3m)

3m

(m，n∈N*)，求证：|f(xn)-f(ym)|＜

4

3

．关键在理解题意上．只需要求出

f(xn)和f(ym)的最值即可．求最值当然要通过求导分析单调性，再看xn=

2n-1

2n

，  ym=

2 (1-3m)

3m

(m，n∈N*)，所属范围．再求．则易证|f(xn)-f(ym)|＜

4

3

．

解答：解：（Ⅰ）将y=f（x+1）的图象向右平移1个单位，得到y=f（x）的图象，
所以y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，即y=f（x）是奇函数，
所以f（x）=a₁x³+a₃x，由题意，得

f′(-1)=3a1+a3=0 f(-1)=-a1-a3= 2 3

?

a1= 1 3 a3=-1.

所以f(x)=

1

3

x3-x．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f'（x）=x²-1，
假设存在两切点为(x1，f(x1))，(x2，f(x2))  (x1，x2∈[-

2

，

2

])，
则f'（x₁）•f'（x₂）=（x₁²-1）（x₂²-1）=-1．因为（x₁²-1）、（x₂²-1）∈[-1，1]
所以

x 2 1 -1=-1 x 2 2 -1=1

或

x 2 1 -1=1 x 2 2 -1=-1.

即

x1=0 x2=± 2

或

x1=± 2 x2=0

从而可得所求两点的坐标分别为(0，0)，(

2

，-

2

3

)或(0，0)，(-

2

，

2

3

)．
（Ⅲ）因为当x∈[

1

2

，1)时，f'（x）＜0，所以f（x）在[

1

2

，1)递减．
由已知得xn∈[

1

2

，1)，
所以f(xn)∈(f(1)，f(

1

2

)]，即f(xn)∈(-

2

3

，-

11

24

]．
注意到x＜-1时，f′（x）＞0，-1＜x＜1时，f′（x）＜0，
故f（x）在（-∞，-1）上递增，在（-1，1）上递减，
由于y_m=

2

3m

-

2

，
所以ym∈(-

2

，-

2 2

3

]．
因为-

2

＜-1＜-

2 2

3

，
所以f(ym)∈(f(-

2

)，f(-1)]，
即f(ym)∈(

2

3

，

2

3

]．
所以|f(xn)-f(ym)|=f(ym)-f(xn)＜

2

3

-(-

2

3

)=

4

3

．

点评：这种题型属于较难的压轴题．关键在挖掘题意上做文章．