Question

已知抛物线y²=4x，椭圆经过点M(0，

3

)，它们在x轴上有共同焦点，椭圆的对称轴是坐标轴．
（1）求椭圆的方程；
（2）若P是椭圆上的点，设T的坐标为（t，0）（t是已知正实数），求P与T之间的最短距离．

Answer 1

（1）抛物线的焦点为（1，0）…（2分）
设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，则a2-b2=1，b=

3

…（4分）
∴a²=4，b²=3
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1…（6分）
（2）设P（x，y），则|PT|=

(x-t)2+y2

=

(x-t)2+3(1- x2 4 )

=

(x-4t)2+12-12t2 4

（-2≤x≤2）…（8分）
①当0＜t≤

1

2

时，x=4t，即P(4t，±

3-3t2

)时，|PT|min=

3-3t2

；
②当t＞

1

2

时，x=2，即P（2，0）9时，|PT|_min=|t-2|10；
综上，|PT|min=

3-3t2 ，0＜t≤ 1 2 |t-2|，t＞ 1 2

…（14分）
（注：也可设P(2cosθ，

3

sinθ)(0＜θ≤2π)解答，参照以上解答相应评分）