Question

已知函数f(x)=-x+ln

1-x

1+x

（1）求函数的定义域，并求f(

1

2010

)+f(-

1

2010

)的值
（2）若-1＜a＜1，当x∈[-a，a]时，f（x）是否存在最小值，若存在，求出最小值； 若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据使函数解析式有意义的原则，我们可以列出让函数解析式有意义的不等式，解不等式可求出函数的定义域，分析出函数奇偶性，根据奇偶性可以得到f(

1

2010

)+f(-

1

2010

)的值
（2）求出函数的导函数，可判断出函数在[-1，1]上的单调性，进而可得x∈[-a，a]时，f（x）存在最小值f（a），代入计算即可得到答案．

解答：解：（1）由

1-x

1+x

＞0得-1＜x＜1，
∴函数f（x）的定义域是（-1，1）（3分）
∵f(-x)=x+ln

1+x

1-x

=x-ln

1-x

1+x

=-f(x)，
∴f（x）是奇函数
∴f(

1

2010

)+f(-

1

2010

)=0（3分）
（2）∵f′(x)=-1-

2

1-x2

=

x2-3

1-x2

＜0对-1＜x＜1恒成立
∴f（x）在（-1，1）上是减函数（5分）
∴f(x)min=f(a)=-a+ln

1+a

1-a

（3分）

点评：本题考查的知识点是函数单调性的性质，函数定义域及其求法，函数奇偶性的判断，函数的值，是对函数三要素和性质比较综合的考查，掌握函数性质的定义及判断方法是解答关键．