Question

【题目】已知椭圆的半焦距为，圆与椭圆有且仅有两个公共点，直线与椭圆只有一个公共点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知动直线过椭圆的左焦点，且与椭圆分别交于两点，试问：轴上是否存在定点，使得为定值?若存在，求出该定值和点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）在轴上存在点，使得为定值

【解析】

（1）根据已知求出即得椭圆的标准方程；（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，利用韦达定理和向量的数量积求出，此时为定值；当直线的斜率不存在时，直线的方程为，求出此时点R也满足前面的结论，即得解.

(1)依题意，得，

则，

故椭圆的标准方程为.

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

代人椭圆的方程，可得

设，，则，

设，则

若为定值，则，解得

此时

点的坐标为

②当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代人，得

不妨设，若，则

综上所述，在轴上存在点，使得为定值