Question

已知数列{a_n}满足a₁=5，a₂=5，a_n+1=a_n+6a_n-1（n≥2，n∈N^*）．
（1）求证：当n≥2时，{a_n+2a_n-1}和{a_n-3a_n-1}均为等比数列；
（2）求证：当k为奇数时，

1

ak

+

1

ak+1

＜

4

3k+1

；
（3）求证：

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

1

2

（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）整理a_n+1=a_n+6a_n-1得a_n+1-3a_n=-2（a_n-3a_n-1），a_n+1+2a_n=3（a_n+2a_n-1），进而判断出当n≥2时，{a_n+2a_n-1}是首项为15公比为3的等比数列，{a_n-3a_n-1}是首项为-10，公比为-2的等比数列．
（2）利用（1）中求得的a_n+2a_n-1和a_n+1-3a_n，两式相减求得a_n，进而求得当k为奇数时，

1

ak

+

1

ak+1

-

4

3k+1

=

4k•[8-7•( 3 2 )k]

3k+1•(3k+2k)•(3k+1-2k+1)

＜0原式得证．
（3）利用（2）中的结论，进而可知当n为偶数时，求得

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

1

2

(1-

1

3n

)＜

1

2

，n为奇数时，

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

1

2

(1-

1

3n+1

)＜

1

2

，综合原式可证．

解答：解：（1）由a_n+1=a_n+6a_n-1（n≥2，n∈N^*）得：
a_n+1+2a_n=3（a_n+2a_n-1），a_n+1-3a_n=-2（a_n-3a_n-1）
且a₂+2a₁=15，a₂-3a₁=-10．
∴当n≥2时，{a_n+2a_n-1}是首项为15公比为3的等比数列，
{a_n-3a_n-1}是首项为-10，公比为-2的等比数列．
（2）由（1）得a_n+1+2a_n=15×3^n-1，a_n+1-3a_n=-10×（-2）^n-1
以上两式相减得a_n=3ⁿ-（-2）ⁿ．
当k为奇数时，

1

ak

+

1

ak+1

-

4

3k+1

=

1

3k+2k

+

1

3k+1-2k+1

-

4

3k+1

=

-7×6k+8×4k

3k+1•(3k+2k)•(3k+1-2k+1)

=

4k•[8-7•( 3 2 )k]

3k+1•(3k+2k)•(3k+1-2k+1)

＜0，
∴

1

ak

+

1

ak+1

＜

4

3k+1

．
（3）由（2）知，当k为奇数时，

1

ak

+

1

ak+1

＜

4

3k+1

=

1

3k

+

1

3k+1

；
∴当n为偶数时，

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

=

1

2

(1-

1

3n

)＜

1

2

当n为奇数时，

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

1

2

(1-

1

3n+1

)＜

1

2

点评：本题主要考查了等比关系的确定，不等式的证明．考查了学生的逻辑思维能力和推理能力．