Question

在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，Ox轴为极轴建立极坐标系，曲线C₁的方程为

x= 1 tan? y= 1 tan2? .

（φ为参数），曲线C₂的极坐标方程为：ρ（cosθ+sinθ）=1，若曲线C₁与C₂相交于A、B两点． 
（I）求|AB|的值；  
（Ⅱ）求点M（-1，2）到A、B两点的距离之积．

Answer 1

（I）曲线C₁的方程为

x= 1 tan? y= 1 tan2? .

（φ为参数）的普通方程为y=x²，
曲线C₂的极坐标方程为：ρ（cosθ+sinθ）=1，的直角坐标方程为：x+y-1=0，
把直线 x+y-1代入y=x²，
得x²+x-1=0，∴x₁=

-1+ 5

2

，x₂=

-1- 5

2

，
∴x₁+x₂=-1．x₁x₂=-1，
∴|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+1)(1+4)

=

10

．
（II）由（I）得A，B两点的坐标分别为A（

-1+ 5

2

，

3- 5

2

），B（

-1- 5

2

，

3+ 5

2

），
∴|MA|²=（

1+ 5

2

）²+（

1+ 5

2

）²，|MB|²=（

1- 5

2

）²+（

1- 5

2

）²，
则点M到A，B两点的距离之积为|MA|•|MB|=2×

1+ 5

2

×

-1+ 5

2

=2．