Question

9．（理） 已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$，若S_n＜t对任意n∈N^*都成立，则t的取值范围为$t≥\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由a_n=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，利用“裂项求和”可得S_n，再利用数列的单调性即可得出．

解答 解：∵a_n=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，
∴S_n=$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）$+…+$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$．
∵S_n=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$＜t对任意n∈N^*都成立，
∴$t≥\frac{1}{2}$．
故答案为：$t≥\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了“裂项求和”、数列的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．