Question

已知函数f（x）=e^x-ln（x+1）-1（x≥0），
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）若0≤y＜x，求证：e^x-y-1＞ln（x+1）-ln（y+1）

Answer 1

（1）f′（x）=ex-

1

x+1

，…（2分）
当x≥0时，ex≥1，

1

x+1

≤1，所以当x≥0时，f′（x）≥0，
则函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，
所以函数f（x）的最小值f（0）=0；…（5分）
（2）由（1）知，当x＞0时，f（x）＞0，
∵x＞y，
∴f（x-y）=e^x-y-ln（x-y+1）-1＞0，e^x-y-1＞ln（x-y+1）①…（7分）
∵ln(x-y+1)-[ln(x+1)-ln(y+1)]=ln

y(x-y)+x+1

x+1

≥0，
∴ln（x-y+1）≥ln（x+1）-ln（y+1）②…（10分）
由①②得 e^x-y-1＞ln（x+1）-ln（y+1）…（12分）