Question

已知数列{a_n}满足：a₁=2，a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹（n∈N^*）
（1）记bn=

an

2n

，证明：数列{b_n}为等差数列．
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n及前n项和为S_n．

Answer 1

分析：（1）根据等差数列的定义b_n+1-b_n=常数得b_n+1-b_n=1所以数列{b_n}为等差数列，其首项为1，公差为1．
（2）由（1）得b_n=1+（n-1）×1=n代入

an

2n

=n(n∈N*)得a_n=n2ⁿ再利用错位相减法求数列a_n=n2ⁿ前n项和可得S_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．

解答：解：（1）由已知有：

an+1

2n+1

=

an

2n

+1(n∈N*)，
即：b_n+1-b_n=1（n∈N^*）
∴数列{b_n}为等差数列，其首项为1，公差为1       
（2）由（1）知：b_n=1+（n-1）×1=n（n∈N^*）
即：

an

2n

=n(n∈N*)∴a_n=n2ⁿ（n∈N^*）
∴S_n=1×2¹+2×2²+3×2³+…+n2ⁿ
2S_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n2ⁿ⁺¹
两式相减，得：
-Sn=21+22+23+…+2n-n2n+1=

2(1-2n)

1-2

-n2n+1=2n+1-2-n2n+1
∴a_n=n2ⁿS_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2

点评：考查等差数列的定义是一类基础题，求和方法中的错位相减主要用于求数列{a_n•b_n}的前n项和的计算，{a_n}{b_n}分别是等差数列和等比数列．