Question

【题目】定义在R上的函数f（x），f（0）≠0，f（1）=2，当x＞0，f（x）＞1，且对任意a，b∈R，有f（a+b）=f（a）f（b）．
（1）求证：对任意x∈R，都有f（x）＞0；
（2）判断f（x）在R上的单调性，并用定义证明；
（3）求不等式f（3﹣2x）＞4的解集．

Answer 1

【答案】
（1）证明：令a=b=0，

则f（0）=f（0）f（0），又f（0）≠0，∴f（0）=1，

当x＜0时，﹣x＞0，∴f（﹣x）＞1，

∵f（0）=f（x）f（﹣x）=1，

∴f（x）= ，

∵f（﹣x）＞1，∴0＜ ＜1，即0＜f（x）＜1，

又当x＞0，f（x）＞1； 且f（0）=1，

所以对任意x∈R，都有f（x）＞0

（2）解：f（x）在R上是增函数，

证明如下：设x1＜x2，

则f（x2）=f（x2﹣x1+x1）=f（x2﹣x1）f（x1），

∵x2﹣x1＞0，∴f（x2﹣x1）＞1，又f（x1）＞0，

∴f（x2﹣x1）f（x1）＞f（x1），

即f（x2）＞f（x1），

∴f（x）在R上是增函数

（3）解：∵f（2）=f（1）f（1）=4，

∴f（3﹣2x）＞4f（3﹣2x）＞f（2），

∵f（x）在R上是增函数，

∴3﹣2x＞2，

解得x＜ ．

∴不等式f（3﹣2x）＞4的解集为（﹣∞， ）

【解析】（1）先令a=b=0计算f（0）=1，当x＜0时，f（x）= ＞0，从而得出结论；（2）设x1＜x2 ， 则f（x2）=f（x2﹣x1+x1）=f（x2﹣x1）f（x1）＞f（x1），于是f（x）在R上是增函数；（3）f（2）=4，利用函数的单调性得出3﹣2x＞2，解出答案．