Question

【题目】已知直线 x+y﹣ =0经过椭圆C： + =1（a＞b＞0）的右焦点和上顶点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点（0，﹣2）的直线l与椭圆C交于不同的A，B两点，若∠AOB为钝角，求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由直线 x+y﹣ =0，分别令y=0，x=0，可得椭圆右焦点（1，0），上顶点（0， ）．

∴c=1，b= ，a= =2．

∴椭圆C的标准方程为： =1．

（2）解：由题意可知：直线l的斜率垂直，可设直线l的方程为：y=kx﹣2．A（x1，y1），B（x2，y2）．

联立 ，化为（4k2+3）x2﹣16kx+4=0，

∵△＞0，∴k2 ．

又x1+x2= ，x1x2= ．

∵∠AOB为钝角，∴ ＜0，

∴x1x2+y1y2＜0，x1x2+（kx1﹣2）（kx2﹣2）＜0，化为：（1+k2）x1x2﹣2k（x1+x2）+4＜0，

∴（1+k2）× ﹣2k× +4＜0，化为k2 ．解得 ，或k ，

∴直线l的斜率k的取值范围是 ∪

【解析】（1）由直线 x+y﹣ =0，分别令y=0，x=0，可得椭圆右焦点（1，0），上顶点（0， ）．又a= ，即可得出．（2）由题意可知：直线l的斜率垂直，可设直线l的方程为：y=kx﹣2．A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）．与椭圆方程联立化为（4k2+3）x2﹣16kx+4=0，△＞0，可得k2 ．由∠AOB为钝角，∴ ＜0，利用数量积运算性质、根与系数的关系即可得出．