Question

（2012•福州模拟）过双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左焦点F引圆x²+y²=a²的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于点P，若T为线段FP的中点，则该双曲线的渐近线方程为（　　）

A．x±y=0

B．2x±y=0

C．4x±y=0

D．x±2y=0

Answer 1

分析：由过双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左焦点F引圆x²+y²=a²的切线，切点为T，知OT=a，设双曲线的右焦点为F′，由T为线段FP的中点，知|PF′|=2a，|PF|=2b，由双曲线的定义知：2b-2a=2a，由此能求出双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程．

解答：解：∵过双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左焦点F引圆x²+y²=a²的切线，切点为T，
∴OT=a，
设双曲线的右焦点为F′，
∵T为线段FP的中点，
∴|PF′|=2a，|PF|=2b，
由双曲线的定义知：2b-2a=2a，
∴b=2a．
∴双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为bx±ay=0，
即2ax±ay=0，
∴2x±y=0．
故选B．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．