题目内容
在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知(b2+c2-a2)tanA=| 3 |
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若a=2，求△ABC面积S的最大值．
分析：（1）根据余弦定理和同角三角函数的基本关系可求出sinA的值，再根据是锐角三角形可确定角A的值．
（2）将a，A的值代入(b2+c2-a2)tanA=
bc．得到关系b，c的关系式，再由基本不等式可求最大值．
（2）将a，A的值代入(b2+c2-a2)tanA=
| 3 |
解答：解：（I）由已知得
•
=
?sinA
又在锐角△ABC中，所以A=60°，
（II）因为a=2，A=60°所以b2+c2=bc+4，S=
bcsinA=
bc
而b2+c2≥2bc?bc+4≥2bc?bc≤4
又S=
bcsinA=
bc≤
×4=
所以△ABC面积S的最大值等于
| b2+c2-a2 |
| 2bc |
| sinA |
| cosA |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
又在锐角△ABC中，所以A=60°，
（II）因为a=2，A=60°所以b2+c2=bc+4，S=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 4 |
而b2+c2≥2bc?bc+4≥2bc?bc≤4
又S=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 4 |
| ||
| 4 |
| 3 |
所以△ABC面积S的最大值等于
| 3 |
点评：本题主要考查余弦定理和基本不等关系的应用．属基础题．
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