Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0，x∈R）为奇函数，且f（x）在x=1处取得极大值2．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）记，求函数y=g（x）的单调区间；
（3）在（2）的条件下，当k=2时，若函数y=g（x）的图象在直线y=x+m的下方，求m的取值范围．

Answer 1

解：（1）由f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）为奇函数，
∴f（﹣x）=﹣f（x），代入得，b=0
∴f'（x）=3ax²+c，且f（x）在x=1取得极大值2．
∴
解得a=﹣1，c=3，
∴f（x）=﹣x³+3x
（2）∵g（x）=﹣x²+3+（k+1）lnx，
∴
因为函数定义域为（0，+∞），
所以①当，k=﹣1时，g'（x）=﹣2x＜0，函数在（0，+∞）上单调递减；
②当k＜﹣1时，k+1＜0，
∵x＞0，
∴．可得函数在（0，+∞）上单调递减；
③k＞﹣1时，k+1＞0，
令g'（x）＞0，得，
∵x＞0，
∴﹣2x²+（k+1）＞0，得，
结合x＞0，得；
令g'（x）＜0，得，
同上得2x²＞（k+1），解得，
∴k＞﹣1时，单调递增区间为（0，），单调递增区间为（，+∞）
综上，当k≤﹣1时，函数的单调递减区间为（0，+∞），无单调递增区间；
当k＞﹣1时，函数的单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，+∞）
（3）当k=2时，g（x）=﹣x²+3+3lnx，
令h（x）=g（x）﹣（x+m）=﹣x²﹣x+3lnx+3﹣m
，
令h'（x）=0，，得x=1，（舍去）．
由函数y=h（x）定义域为（0，+∞），
则当0＜x＜1时，h'（x）＞0，
当x＞1时h'（x）＜0，
∴当x=1时，函数h（x）取得最大值1﹣m．
由1﹣m＜0得m＞1
故m的取值范围是（1，+∞）．