Question

（选修4-4：坐标系与参数方程）在曲线上找一点P，使得点P到曲线（t为参数）的距离d最小，求出最小值及此时点P的坐标．

Answer 1

【答案】分析：把曲线C₂的参数方程化为普通方程为 x-2y+8=0，表示一条直线，在曲线C₁找一点P（3cosθ，2sinθ），利用点到直线的距离公式求得点P到曲线的距离d=，其中，sin∅=，cos∅=，当且仅当∅+θ=2kπ- 时，d取得最小值为，此时，θ=2kπ--∅，求得 cosθ 和 sinθ的值，即得点P的坐标．
解答：解：曲线（t为参数）的普通方程为 x-2y+8=0，在曲线上找一点P（3cosθ，2sinθ），
点P到曲线（t为参数）的距离d==≥=，
sin∅=，cos∅=，当且仅当∅+θ=2kπ- 时，等号成立，故d最小值为．
此时，θ=2kπ--∅，∴cosθ=cos （2kπ--∅）=-sin∅=-，sinθ=sin（2kπ--∅）=-sin（+∅）=-cos∅=．
故点P（-，）．
综上，d最小值为，此时点P的坐标为（-，）．
点评：题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和椭圆的位置关系的应用，属于中档题．