Question

12．设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E(如图)．现将△ADE沿DE折起，使二面角

A－DE－B为45°，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M、N的连线与AE所成角的大小等于_________．

Answer 1

12. 90°

解法一：折叠后图形如下图所示.

易知∠AEB=45°，∠ABE=90°，∴AB=BE.

取AE中点Q，连MQ、BQ.

∵MQDE，DEBC，N为BC中点，

∴MQBN.∴BQ∥MN.∵BQ⊥AE，∴MN⊥AE，即M、N连线与AE成90°角.

解法二：如下图所示，设EB=a，易知∠AEB=45°，∴AB=EB=a，AE=a.取DE中点F，则MF=AE=a，FN=BE=a，∠MFN=∠AEB=45°.

∴在△MFN中，由余弦定理得MN=a.

∴MN²+FM²=FN².∴MN⊥MF，即MN与MF成90°角.

又MF∥AE，∴MN与AE成角为90°.