Question

7．若圆台两底面周长的比是1：4，过高的中点作平行于底面的平面，则圆台被分成两部分的体积比是（　　）

• A． 1：16
• B． 39：129
• C． 13：129
• D． 3：27

Answer 1

分析 如图所示，不妨设圆台上底面为1，则下底面半径为4，中截面半径为r．设半径为1，r，4的3个圆锥的体积分别为V₁，V₂，V₃．设PO₁=h，OO₁=OO₂=x，由于O₁A₁∥OA∥O₂A₂，可得$\frac{h}{h+x}=\frac{1}{r}$，$\frac{h}{h+2x}=\frac{1}{4}$，解得r，x．再利用圆台的体积计算公式即可得出．

解答 解：如图所示，不妨设圆台上底面为1，则下底面半径为4，中截面半径为r．
设半径为1，r，4的3个圆锥的体积分别为V₁，V₂，V₃．
设PO₁=h，OO₁=OO₂=x，
∵O₁A₁∥OA∥O₂A₂，
∴$\frac{h}{h+x}=\frac{1}{r}$，$\frac{h}{h+2x}=\frac{1}{4}$，
解得$r=\frac{5}{2}$，x=$\frac{3}{2}h$．
∴V₂-V₁=$\frac{1}{3}×\frac{3}{2}h•[{1}^{2}+1×\frac{5}{2}+（\frac{5}{2}）^{2}]$π=$\frac{39πh}{8}$，
V₃-V₂=$\frac{1}{3}×\frac{3h}{2}•π[（\frac{5}{2}）^{2}+4×\frac{5}{2}+{4}^{2}]$=$\frac{129πh}{8}$，
∴圆台被分成两部分的体积比=39：129．
故选：B．

点评 本题考查了圆台的体积计算公式、平行线分线段成比例定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．