Question

已知y=log_ax，当x∈（3，+∞）时，总有|y|＞1，则实数a的范围是（　　）

• A．{a|

  1

  3

  ≤a≤3，且a≠1}
• B．{a|

  1

  2

  ≤a≤2，且a≠1}
• C．{a|a≥3，或a≤

  1

  3

  }
• D．{a|a≥2，或a≤

  1

  2

  }

Answer 1

分析：当a＞1时，不等式即 log_ax＞1=log_aa，故a＜x对任意x∈（3，+∞）恒成立，得到1＜a＜3；当0＜a＜1时，有-logax=loga

1

x

＞1=log_aa，故a＞

1

x

对任意x∈（3，+∞）恒成立，故

1

3

＜a＜1，将两种情况下求得的a的取值范围再取并集．

解答：解：当a＞1时，
∵x∈[3，+∞），
∴y=f（x）=log_ax＞0，
由|f（x）|＞1，得log_ax＞1=log_aa，
∴a＜x对任意x∈（3，+∞）恒成立．
于是：1＜a＜3；
当0＜a＜1时，
∵x∈（3，+∞），
∴y=f（x）=log_ax＜0，
由|f（x）|＞1，得-log_ax=loga

1

x

＞1=log_aa，
∴a＜x对任意x∈（3，+∞）恒成立．
于是：

1

3

＜a＜1． 
综之：a∈（

1

3

，1）∪（1，3）．
故答案为：

1

3

＜a＜3且a≠1．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，对数函数的单调性及特殊点，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．