Question

给出下列四个命题：
（1）函数y=sin（kπ+x），（k∈Z）是奇函数；
（2）函数y=sin(2x+

π

3

)的图象由y=sin2x的图象向左平移

π

3

个单位得到；
（3）函数y=sin(2x+

π

2

)的对称轴是x=

kπ

2

  (k∈Z)；
（4）函数y=（sinx+cosx）²+cos2x的最大值为3．
其中正确命题的序号是

（1）（3）

（把你认为正确的命题序号都填上）．

Answer 1

分析：（1）利用奇函数的定义即可判断；
（2）利用平移变换“左加右减”即可判断出；
（3）经过函数y=sin(2x+

π

2

)的图象的最高点或最低点且与y轴平行的直线是其对称轴，先求出即可判断；
（4）先化简，进而利用三角函数的最值即可判断．

解答：解：（1）∵函数y=sin（kπ+x）=（-1）^ksinx（k∈Z），∴f（-x）=（-1）^ksin（-x）=-（-1）^ksinx=-f（x），故是奇函数，正确；
（2）由y=sin2x的图象向左平移

π

3

个单位得到y=sin2(x+

π

3

)=sin(

π

3

-2x)≠sin(2x+

π

3

)，因此（2）不正确；
（3）由sin(2x+

π

2

)=±1，解得x=

kπ

2

，（k∈Z），故函数y=sin(2x+

π

2

)的对称轴是x=

kπ

2

  (k∈Z)，因此（3）正确；
（4）∵函数y=（sinx+cosx）²+cos2x=1+sin2x+cos2x=

2

sin(2x+

π

4

)+1，当sin(2x+

π

4

)=1时，函数y=（sinx+cosx）²+cos2x的最大值为

2

+1，因此（4）不正确．
综上可知：正确的命题为（1）（3）．
故答案为（1）（3）．

点评：熟练掌握三角函数的图象与性质及其变换是解题的关键．