Question

在四棱锥中，底面是一直角梯形，，与底面成角.  （1）若为垂足，求证：；  （2）在（1）的条件下，求异面直线与所成角的余弦值； （3）求平面与平面所成的锐二面角的正切值.

Answer 1

（本小题主要考查空间线线关系、面面关系、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）

解法一：（1）

      

…………4分

（2）过点作交于，连结，

则与所成角即为与所成角.

  

∴异面直线与所成角的余弦值为.   …………9分

（3）延长与相交于点，连，

则面与面的交线为，易知⊥平面，

过作，

，

，

∴平面与平面所成的二面角的正切值为2.         ……14分

       解法二：（1）如图建立空间直角坐标系，

        …………4分

（2）由（1）知，

      

∴异面直线与所成角的余统值为.        …………9分

（3）易知，  

则

的法向量.  

 

∴平面PAB与平面PCD所成锐二面角的正切值为2.     …………14分