Question

已知椭圆上两个相邻顶点为A、C，又B、D为椭圆上的两个动点，且B、D分别在直线AC的两旁，求四边形ABCD面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：将椭圆的参数方程化成标准方程：，作出它的图形，再设A（0，5），C（4，0），B、D为椭圆上位于AC的两侧的两点．将四边形ABCD分解，得它的面积S=S_△ACD+S_△ACB，从而得出ABCD面积S=AC（h₁+h₂），其中h₁、h₂分别为点B、D到AC的距离．因此，当平行于AC的直线l₁与椭圆相切于点B，平行于AC的直线l₂与椭圆相切于点D时，四边形面积达到最大值．然后设点B坐标和直线l₁的方程，通过联解方程组，可得点B（2，），点D（-2，-）．最后求出直线AC的方程5x+4y-20=0，利用点到直线的距离公式和三角形面积公式，可求出四边形ABCD面积的最大值．
解答：解：将椭圆化成标准方程，得，作出它的图形如右图
设A（0，5），C（4，0），B、D为椭圆上两点，且位于AC的两侧
则四边形ABCD的面积S=S_△ACD+S_△ACB，而S_△ACB=AC•h₁，S_△ACD=AC•h₂
∴四边形ABCD的面积S=AC•h₁+AC•h₂=AC（h₁+h₂），其中h₁、h₂分别为点B、D到AC的距离
因此，当平行于AC的直线l₁与椭圆相切于点B时，h₁达到最大值；当平行于AC的直线l₂与椭圆相切于点D时，h₂达到最大值．
设点B（x₁，y₁），得直线l₁的方程为：
∵，
∴，可得点B（2，）
∵直线AC的方程为y=-x+5，即5x+4y-20=0，
∴点B到AC的距离为：=，即h₁的最大值为
同理，可得点D（-2，-），D到AC的距离为，即h₂的最大值为，
∴四边形ABCD的面积S的最大值为AC[+]=××=
点评：本题给出椭圆的参数方程，以上顶点和右顶点的连线为对角线，得椭圆的内接四边形并求此四边形面积的最大值，着重考查了椭圆的参数方程、直线与椭圆的位置关系等知识点，属于难题．