Question

已知椭圆

x=4cosθ y=5sinθ

上两个相邻顶点为A、C，又B、D为椭圆上的两个动点，且B、D分别在直线AC的两旁，求四边形ABCD面积的最大值．

Answer 1

分析：将椭圆的参数方程化成标准方程：

y2

25

+

x2

16

=1，作出它的图形，再设A（0，5），C（4，0），B、D为椭圆上位于AC的两侧的两点．将四边形ABCD分解，得它的面积S=S_△ACD+S_△ACB，从而得出ABCD面积S=

1

2

AC（h₁+h₂），其中h₁、h₂分别为点B、D到AC的距离．因此，当平行于AC的直线l₁与椭圆相切于点B，平行于AC的直线l₂与椭圆相切于点D时，四边形面积达到最大值．然后设点B坐标和直线l₁的方程，通过联解方程组，可得点B（2

2

，

5

2

2

），点D（-2

2

，-

5

2

2

）．最后求出直线AC的方程5x+4y-20=0，利用点到直线的距离公式和三角形面积公式，可求出四边形ABCD面积的最大值．

解答：解：将椭圆

x=4cosθ y=5sinθ

化成标准方程，得

y2

25

+

x2

16

=1，作出它的图形如右图
设A（0，5），C（4，0），B、D为椭圆上两点，且位于AC的两侧
则四边形ABCD的面积S=S_△ACD+S_△ACB，而S_△ACB=

1

2

AC•h₁，S_△ACD=

1

2

AC•h₂
∴四边形ABCD的面积S=

1

2

AC•h₁+

1

2

AC•h₂=

1

2

AC（h₁+h₂），其中h₁、h₂分别为点B、D到AC的距离
因此，当平行于AC的直线l₁与椭圆相切于点B时，h₁达到最大值；当平行于AC的直线l₂与椭圆相切于点D时，h₂达到最大值．
设点B（x₁，y₁），得直线l₁的方程为：

y1y

25

+

x1x

16

=1
∵

y 12 25 + x 12 16 =1 K AC=- 5 4 =- 25x1 16y1 =Kl1

，
∴

x1=2 2 y1= 5 2 2

，可得点B（2

2

，

5

2

2

）
∵直线AC的方程为y=-

5

4

x+5，即5x+4y-20=0，
∴点B到AC的距离为：

|5×2 2 +4× 5 2 2 -20|

52+42

=

41

41

(20

2

-20)，即h₁的最大值为

41

41

(20

2

-20)
同理，可得点D（-2

2

，-

5

2

2

），D到AC的距离为

41

41

(20

2

+20)，即h₂的最大值为

41

41

(20

2

+20)，
∴四边形ABCD的面积S的最大值为

1

2

AC[

41

41

(20

2

-20)+

41

41

(20

2

+20)]=

1

2

×

41

×

41

41

×40

2

=20

2

点评：本题给出椭圆的参数方程，以上顶点和右顶点的连线为对角线，得椭圆的内接四边形并求此四边形面积的最大值，着重考查了椭圆的参数方程、直线与椭圆的位置关系等知识点，属于难题．